2007年底，我剛從溫州中學調(diào)入市北中學，面對不一樣的學生和學校文化，我困惑于：數(shù)學課該怎么上？學生的個性化培育從哪里入手？直到看到沈南鵬（攜程、如家、紅杉資本創(chuàng)始人，曾經(jīng)的全國數(shù)學競賽一等獎得主）的這句話“創(chuàng)業(yè)就像做數(shù)學題，從最簡單的開始”后，頓覺豁然開朗。

從簡單開始，是一種數(shù)學思維習慣

正如笛卡兒所說:“按次序進行我的思考，從最簡單、最容易認識的對象開始，一點一點逐步上升，直到認識最復雜的對象； 就連那些本來沒有先后關系的東西，也給它們設定一個次序。”

會解難題是數(shù)學優(yōu)秀生的一個重要標志。解題就是在困難中找出路，其價值往往不僅僅是答案本身 , 而且在于弄清“是怎樣想到這個解法的 。”

從簡單開始，就是一種探索“怎樣想到解法”的策略。就是在遇到難以入手的問題時，把問題做適當?shù)霓D(zhuǎn)換，造出一個或幾個比原問題簡單的或已經(jīng)熟悉易于求解的新問題，再通過對新問題的考察，發(fā)現(xiàn)解題思路，最終達到解決原問題的目的。

數(shù)學解題是一個把高階復雜問題轉(zhuǎn)化為低階簡單問題的過程，把繁復的問題轉(zhuǎn)化成較簡潔的問題以利于迅速找出問題的癥結并各個擊破。分類討論、特例探路、著眼于極端情況、爬坡式推理都是典型的從簡單開始的解題思路。

對數(shù)學知識的理解有時候也可以從簡單開始，對初等、部分、具體、特殊（或極端）情況的考察，往往能夠促進對高等、整體、抽象、一般問題的理解。

比如在課本《統(tǒng)計估計》一課中樣本方差公式的分母取樣本容量與 1 的差而不取樣本容量，我覺得不自然，也曾百思不得其解。

不得已我從特殊情況開始想起：當樣本容量為 1 時，如果樣本方差公式中的分母取樣本容量，這時每一個樣本的方差都是 0，樣本方差的期望值為 0，這樣對總體方差的估計就是一個極不合理的有偏估計，而當樣本方差公式中的分母取樣本容量與 1 的差時，這時每一個樣本的方差是不存在的，說明單個數(shù)據(jù)無法估計總體數(shù)據(jù)的離散程度，這時方差的分母取樣本容量與 1 的差更為合理。

人們常用“冰冷”來形容公式，但對最特殊的情況的考察，讓我看到公式冰冷的面孔后豐富多彩的故事。

從最簡單開始有時并不是認識真理最便捷的途徑，最初于我是被迫的，是不得已而為之。如今從簡單開始已經(jīng)成為我的思維習慣，是我掌握數(shù)學知識來龍去脈的最有效途徑。

從簡單開始，是一種數(shù)學教學方法 

雖然早就知道授之以魚不如授之以漁，但因為太在乎學生的成績，有時候我也很著急，恨不得將考試所能考到的所有難題，都給學生講一遍。

在試卷分析課上我也曾抱怨：“這個題目，我前天上課剛講過，你們有認真聽嗎？為什么有這么多同學做不出？”

在辦公室里我也曾埋怨學生學不會，上課死氣沉沉，學生只知道記而不會想，“ 談什么舉一反三，舉一保一也做不到”。

痛定思痛，“把數(shù)學課上得簡單些，使數(shù)學課擁有生機”成為我的教學追求。

在操作層面上，歸納為六個“簡”和六個“立足”：

第一，課堂引入要簡潔。

導語設計精練，方式靈活，時間緊湊，立足于激發(fā)學生的興趣。

第二，選用例題要簡明。

例題題意明了，方法典型，講得明白，想得清楚，立足于激活學生的思維。一方面簡單是數(shù)學的一種本質(zhì)回歸，最簡單的問題往往蘊涵著最深刻的思想，另一方面正是因為源問題的簡單，才能夠為我們提供引申推廣的空間。

第三，教師用語要簡練。

每個 學生都不愿意僅僅通過被動接收老師發(fā)布的信息去學習數(shù)學， 誰都想要做主人。教師的講永遠代替不了學生的學，有時候教師教學過程中講得越細越多，學生需要記憶的東西就越多，學生自主思考的主動性就越少。藏巧于拙，教師少講或不講，恰恰能讓學生充分暴露思維過程，把思考的時間留給學生，把表達的空間還給學生，把成功的機會讓給學生，更能激發(fā)學生主動學習的愿望。

要以學定教，課堂中老師重要的是聽，了解哪些內(nèi)容需要教師講，哪些不需要教師講，教師用語要單純明快，詞少意多，立足于引發(fā)學生的思考。

第四，總結歸納要簡短。

立足于完善學生的認知結構，總結不是泛泛而談，只有簡短才有針對性，并利于記憶。

第五，技術運用要簡樸。

發(fā)揮計算機快速運算、精確作圖、動態(tài)模擬的功能，提高課堂效率，立足于促進學生的理解。

第六，問題解決從簡單開始。

立足于讓學生經(jīng)歷數(shù)學探究的過程。

教得簡單是為了學得靈活，從簡單開始可以形成更豐富的思維層次結構，更容易激發(fā)學生的學習熱情，讓更多的學生參與到數(shù)學活動中來。

從簡單開始，是一種培育數(shù)學創(chuàng)新素養(yǎng)的教育理念

原閘北區(qū)芷江中路幼兒園以幼兒自主學習為核心的低結構活動帶給我啟發(fā)，引起我共鳴。芷江中路幼兒園的“目標內(nèi)隱、活動開放、結果多元”的低結構教學活動，能夠“讓孩子表現(xiàn)自己，讓教師發(fā)現(xiàn)孩子 。”

在普通高中，低結構的數(shù)學教學活動，是否也能在高中生的創(chuàng)新素養(yǎng)培育中“讓學生展示自己的創(chuàng)新素養(yǎng)，讓教師發(fā)現(xiàn)學生的創(chuàng)新品質(zhì)”呢？

我曾遇到這樣兩位數(shù)學老師，一位是成熟的數(shù)學老師，在課上按照事先的預設一步一步實施知識教學，老師能預先料到學生課堂中提出的每一個問題，老師的最后一句話講完正好下課鈴聲響起，似乎一切盡在老師的掌控之中。

另一位是年輕老師，上課經(jīng)常出差錯，一個意料不到的學生提問就打亂了他原先的預設流程，似乎讓他不知所措，學生在課堂上的一 些想法往往比老師還高明。

考試結果出乎意料，成熟老師的學生考不過年輕老師的學生。前面那位成熟老師的課堂就是一種高結構教育活動，老師控制整個課堂的流程與走向，重視知 識的內(nèi)在邏輯，其優(yōu)勢是能在較短的時間內(nèi)富有系統(tǒng)性地完成學科教學。

后面這位年輕老師的課堂，具有低結構教育活動的雛形，課堂教學氛圍民主、開放，依賴學生的類似原生態(tài)下的發(fā)現(xiàn)和生成實現(xiàn)教育目標，其優(yōu)點是學生的自主學習得到充分保障。

“高中數(shù)學微創(chuàng)新”是我在市北中學開設的一門選修課， 嘗試從簡單開始用低結構教育活動培育學生的創(chuàng)新素養(yǎng)。

在選修課中，教學活動是從學生或老師提出的問題出發(fā)而形成的動態(tài)、開放的過程，我有意識地忽視學科知識的系統(tǒng)性，重視下列創(chuàng)新思維的養(yǎng)成：

一是質(zhì)疑。疑問是學習新知識、產(chǎn)生新思想、發(fā)現(xiàn)新觀點的起點。用甲方法得到A，用乙方法得到B， A 與 B 矛盾，甲、乙方法中必有一種是錯的。

二是類比。類比是根據(jù)兩個對象有一部分屬性相似，推斷這兩個對象另外的 一些屬性也相似，是一種從特殊到特殊的合情推理方法。對象 A 具有屬性 a、b、c、d，聯(lián)想到對象 B 也具有屬性 a、b、c， 對象 B 也許也具有屬性 d ？

三是歸納。歸納，是指通過對特例的分析來引出普遍結論的一種推理形式。設Mi（i＝1， 2，⋯⋯，n）是要研究對象 M 的特例或子集，M1 具有性質(zhì) P， M2 具有性質(zhì) P，⋯⋯，Mn 具有性質(zhì) P，猜想 M 中的其他元素也具有性質(zhì) P。

四是考慮逆向問題。在解決了原問題，并對原問題有足夠的了解的情況下，去考慮逆向問題。具有性質(zhì) A1, A2, A3,⋯⋯的事物具有性質(zhì)B，具有性質(zhì)B, A2, A3,⋯⋯的 事物也具有性質(zhì)A1嗎？

五是從不同的角度看問題。從不同的角度看問題，答案往往不止一個。已知真命題若 A 成立則 B 成立，那么是否有比 A 弱的條件使 B 也成立？若 A 成立，是否能得到比 B 更強的結論？是否有多種策略，由 A 到 B ？好的數(shù)學開放題能夠給學生提供多種視角，是培養(yǎng)學生發(fā)散性思維的很好的載體。

如在一節(jié)課中，我將一個不等式刪去右邊的代數(shù)式，將另一個不等式刪去一個條件，要求學生自己補成兩個正確的恒不等式。這樣做使問題的起點變低，思維層次變多，答案變得不唯一，策略變得多樣化，就使學生很容易“下手”，課堂教學活動也從高結構變?yōu)榈徒Y構，由封閉變?yōu)殚_放，從教證明變?yōu)閷W發(fā)明?？吹綄W生如數(shù)學家般編制出一個個不等式，讓學生體會到創(chuàng)造的喜悅，應該是這節(jié)課最大的成功。

《簡單》，是我們自己創(chuàng)辦的數(shù)學雜志

2009年12月，市北中學第一本學生數(shù)學刊物《簡單》創(chuàng)刊了。 學習數(shù)學的興趣總是和成功的喜悅緊密相連的，如獨立地解決一道數(shù)學難題、作出一個數(shù)學猜想、想出一種新的解題方法等，都能使學生從這些“成功”中體驗到創(chuàng)造的喜悅，激發(fā)起更高的學習熱情。

我鼓勵學生將數(shù)學學習中的感悟以小論文的形式記錄下來，學生自己寫稿、審稿、編輯、排版，編輯成《簡單》。雜志中有數(shù)學小論文、數(shù)學小說、數(shù)學游 戲攻略等等，文章雖然“簡單 ”，但都有學生自己的想法，對學生本人來說是一種創(chuàng)新，這些創(chuàng)作能喚起同學們對數(shù)學問題的思考。

姜同學就是通過為《簡單》寫稿成長起來的學生，她關于幻方的論文的第一稿寫了滿滿六頁紙，很是得意，但我要求她重寫，理由是“這些填圖方法別人都有了，你的文章中一定要有自己的想法 ”。一定要讓人看到她獨特的想法，她的文章的方向從介紹幻方的填法轉(zhuǎn)到探索確定一個幻方的條件，內(nèi)容也從六頁到四頁，最后定稿為兩頁，惜墨如金、字字斟酌，在一次次痛苦中完成了第二稿、第三稿，直到第六稿，最終被中學數(shù)學核心期刊《數(shù)學教學》刊用。

她說：“有一天中午當我和幾位同學探討在論文中占有整整一頁紙分量的性質(zhì)五的證明時，我突然發(fā)現(xiàn)，那個曾一面臨數(shù)學難題便唯唯諾諾，只待在一邊傾聽講解的普通女生敢于和班中數(shù)學高手大聲討論了。”

陳同學在高中階段寫了兩篇論文，第一篇是《簡單》第一期的第一篇，第二篇是《簡單》第二期的第一篇。他的第二篇論文，在全球582個參賽隊中脫穎而出，獲得第三屆丘成桐中學數(shù)學獎唯一的金獎。

在獲獎感言中，他說：“有人覺得數(shù)學枯燥，而我沉醉于突然有了想法時那電光石火的一瞬所帶來的快樂。”《簡單》記錄著學生對數(shù)學單純的熱愛。我這么想，給學生的數(shù)學教育不只是為了眼前的考試，還有數(shù)學帶來的詩與遠方。

（作者系上海市數(shù)學特級教師，上海市市北中學校長助理）