一、區(qū)分知識(shí)與素養(yǎng)

（一）數(shù)學(xué)有用與無(wú)用

有很多人認(rèn)為數(shù)學(xué)很重要、很有用，但是同樣也有很多人害怕數(shù)學(xué)，質(zhì)疑數(shù)學(xué)在生活中的作用。即使是每天和數(shù)學(xué)打交道的數(shù)學(xué)教師，不少人都感到困惑。

有位教師說(shuō)：“我除了教數(shù)學(xué)，還能干什么？”言下之意，他所學(xué)的數(shù)學(xué)，除了教學(xué)生應(yīng)付考試之外，毫無(wú)用處。

一位教師給學(xué)生講數(shù)學(xué)的重要性，舉例說(shuō)：“最近買(mǎi)房，是貸款20年劃算，還是貸款30年劃算？是等額還款劃算，還是等本還款劃算？考慮我的工資收入以及工資漲幅，還有通貨膨脹，我算了好幾天，覺(jué)得省了不少。”這時(shí)，有學(xué)生說(shuō)：“我家里有五套房。”教師和學(xué)生談數(shù)學(xué)的重要性，學(xué)生卻和教師說(shuō)房子的重要性，說(shuō)明教師的認(rèn)識(shí)和闡述不到位、沒(méi)有說(shuō)服力，不能讓學(xué)生理解和接受。

國(guó)外的調(diào)研表明，大多數(shù)人認(rèn)為在工作生活中用到的只是簡(jiǎn)單的小學(xué)數(shù)學(xué)。對(duì)此，如果不服氣，可以做一個(gè)試驗(yàn)：讓你的學(xué)生家長(zhǎng)（或親戚、朋友）回憶最近一星期的工作和生活中用到了哪些數(shù)學(xué)？四則運(yùn)算、二次函數(shù)、三角函數(shù)、微積分……可以把從小學(xué)到大學(xué)主要的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)列一下，讓它們勾選，看結(jié)果如何。

既然這么多人對(duì)數(shù)學(xué)的有用性提出質(zhì)疑，那么就要去想一想為什么會(huì)這樣。事實(shí)上，這是因?yàn)樗麄儗⒕唧w的數(shù)學(xué)知識(shí)和更抽象的數(shù)學(xué)素養(yǎng)相混淆了。

米山國(guó)藏有一段敘述，流傳很廣：學(xué)生在學(xué)校學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，畢業(yè)后若沒(méi)什么機(jī)會(huì)去用，一兩年后很快就忘掉了；然而，不管他們從事什么工作，那種深深銘刻在心中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法、推理方法和看問(wèn)題的著眼點(diǎn)等，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們終身受益。

        曹亮吉教授的一個(gè)觀點(diǎn)，我很贊同：學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)什么？從實(shí)用的角度來(lái)說(shuō)，是算術(shù)以及一點(diǎn)點(diǎn)幾何與代數(shù)；從考試角度來(lái)說(shuō)，是背誦、套用公式，做各種計(jì)算；但是如果換個(gè)角度看，萬(wàn)事萬(wàn)物無(wú)不隱藏著數(shù)與形以及數(shù)與形的模式。把學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的眼界，從純粹的數(shù)與形以及狹義的規(guī)則與定律提升到隱藏于萬(wàn)事萬(wàn)物中的數(shù)與形以及廣義的規(guī)則與定律（模式），數(shù)學(xué)便不再是枯燥抽象的，而是似乎很有用、但不知用在哪里的知識(shí)。經(jīng)過(guò)發(fā)現(xiàn)、轉(zhuǎn)化、解題、溝通以及評(píng)析等種種步驟，把數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)習(xí)領(lǐng)域合在一起，數(shù)學(xué)才能變得具體而有用。

        數(shù)學(xué)知識(shí)可能用得少，但是數(shù)學(xué)素養(yǎng)時(shí)時(shí)影響著我們。

        （二）科學(xué)精神和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

        學(xué)生的核心素養(yǎng)，是指“學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”。它綜合表現(xiàn)為九大素養(yǎng)：社會(huì)責(zé)任、國(guó)家認(rèn)同、國(guó)際理解；人文底蘊(yùn)、科學(xué)精神、審美情趣；身心健康、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、實(shí)踐創(chuàng)新。具體到各個(gè)學(xué)科，還有各自獨(dú)特的核心素養(yǎng)。

        其中的科學(xué)精神，是指?jìng)€(gè)體在學(xué)習(xí)、理解、運(yùn)用科學(xué)知識(shí)和技能等方面表現(xiàn)的價(jià)值標(biāo)準(zhǔn)、思維方式和行為規(guī)范。它包括三個(gè)方面：（1）崇尚真知——重點(diǎn)是學(xué)習(xí)科學(xué)技術(shù)知識(shí)和成果；掌握基本的科學(xué)方法；有真理面前人人平等的意識(shí)等。（2）理性思維——重點(diǎn)是尊重事實(shí)和證據(jù)，有實(shí)證意識(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實(shí)的求知態(tài)度；邏輯清晰，能夠運(yùn)用科學(xué)的思維方式認(rèn)識(shí)事物、解決問(wèn)題、規(guī)范行為等。（3）勇于探究——重點(diǎn)是有百折不撓的探索精神；能夠提出問(wèn)題、形成假設(shè)，并通過(guò)科學(xué)方法檢驗(yàn)求證、得出結(jié)論等?？梢哉f(shuō)，科學(xué)精神是與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)關(guān)系最為密切的綜合核心素養(yǎng)。

        具體到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，也是三個(gè)方面（六個(gè)關(guān)鍵詞）：（1）用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)。（2）用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。（3）用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。需要指出的是，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)雖然被劃分為三個(gè)方面（六個(gè)關(guān)鍵詞），但是實(shí)則是一個(gè)整體。用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，即人從外界輸入信息；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，即人自身處理信息；用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界，即人向外界輸出信息。

        數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)?，F(xiàn)實(shí)的問(wèn)題是，考試的高壓使得教學(xué)的絕大多數(shù)時(shí)間都花在應(yīng)試上，對(duì)學(xué)生素養(yǎng)的培養(yǎng)關(guān)注較少。筆者認(rèn)為，對(duì)于學(xué)生素養(yǎng)，只要教師加以重視，選取合適的教學(xué)案例，采用探究的眼光，就無(wú)須另外增加課時(shí)專門(mén)培養(yǎng)，而在日常教學(xué)中完全可以逐步滲透。

        二、通過(guò)案例理解素養(yǎng)

        （一）數(shù)學(xué)抽象：龜兔賽跑與函數(shù)、不等式

數(shù)學(xué)抽象是指，舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思維過(guò)程。主要包括：從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系中抽象出數(shù)學(xué)概念及概念之間的關(guān)系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并且用數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)予以表征。

龜兔賽跑的故事是我們很熟悉的。兔子本來(lái)跑在前面，但是由于驕傲，路上睡了一覺(jué)，結(jié)果輸給了烏龜。作為文學(xué)作品，當(dāng)然要大力渲染兔子的驕傲自滿、烏龜?shù)膱?jiān)持不懈等行為、態(tài)度上的具體細(xì)節(jié)。而從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，則可抽象為如圖1所示的行程圖。