首先，我要感謝國際數(shù)學奧林匹克（香港）委員會及香港教育署讓我有機會在“數(shù)學普及講座及交流系列”上作講演。尤其要感謝國際數(shù)學奧林匹克（香港）委員會主席岑嘉評教授及譚炳均博士。我也要感謝今天來出席會議的各位香港的中學老師和同學。再過三天就要過春節(jié)了，大家都很忙，有很多事情要做，可是還抽空來聽我的講演，使我很感動。
 
這次講演，打算講以下幾點：
一、百年前的講演
二、百年前的講演的啟示
三、算術與代數(shù)
四、幾何與三角
五、微積分
六、幾點啟示
七、結束語
 
一、百年前的講演
 
今天是2001年1月20日，二十一世紀剛剛開始了20天。在100年前，即1904年8月5日，德國數(shù)學家DavidHilbert（1862―1943）在巴黎國際數(shù)學家大會上作了題為《數(shù)學問題》的著名講演。這是載入數(shù)學史冊的重要講演。他在講演的前言和結束語中，對數(shù)學的意義、源泉、發(fā)展過程及研究方法等，發(fā)表了許多精辟的見解。而整個講演的主體，則是他根據(jù)十九世紀數(shù)學研究的成果和發(fā)展趨勢而提出的23個數(shù)學問題，這些問題涉及現(xiàn)代數(shù)學的許多重要領域。一百年來，這些問題一直激發(fā)著數(shù)學家們濃厚的研究興趣，100年過去了，這些問題近一半已經(jīng)解決或基本解決，但還有些問題雖取得了重大進展，但未最后解決，如：Riemann猜想，Goldbach猜想等。
 
100年過去了，對Hilbert在1900年提出的23個問題，現(xiàn)在回過頭來看，有不少評論。但是很多人認為：這些問題，對推動二十世紀數(shù)學的發(fā)展起了很大的作用，當然也有評論說其不足之處，例如：這23個問題中未能包括拓撲學、微分幾何等在二十世紀成為前沿學科的領域中的數(shù)學問題；除數(shù)學物理外很少涉及應用數(shù)學待等。當然更不會想到二十世紀電腦的大發(fā)展及其對數(shù)學的重大影響。二十世紀數(shù)學的發(fā)展實際上是遠遠超出了Hilbert問題所預示的范圍。
 
D。Hilbert是十九世紀和二十世紀數(shù)學交界線上高聳著的三位偉大數(shù)學家之一，另外二位是HenriPoincare（1854―1912）及FelixKlein（1849―1925），他們的數(shù)學思想及對數(shù)學的貢獻，既反射出十九世紀數(shù)學的光輝，也照耀著二十世紀數(shù)學前進的道路。
 
D。Hilbert是在上一個世紀，新、舊世紀交替之際作的講演，現(xiàn)在又一個新的世紀開始了，再來看看他的講演，其中一些話，現(xiàn)在仍然適用，例如在講演一開始，他說“我們當中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看在今后的世紀里我們這門科學發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數(shù)學思潮將追求什么樣的特殊目標？在廣闊而豐富的數(shù)學思想領域，新世紀將會帶來什么樣的新方法和新成果？”他還接著說：“歷史教導我們，科學的發(fā)展具有連續(xù)性。我們知道，每個時代都有它自己的問題，這些問題后來或者得以解決，或者因為無所裨益而被拋到一邊并代之以新的問題。因為一個偉大時代的結束，不僅促使我們追潮過去，而且把我們的思想引向那未知的將來。”
 
二十世紀無疑是一個數(shù)學的偉大時代，二十一世紀的數(shù)學將會更加輝煌。“每個時代都有它自己的問題”，二十世紀來臨時，Hilbert提出了他認為是那個世紀的23個問題。這些問題對二十世紀數(shù)學的發(fā)展起了很大的推動作用，但二十世紀數(shù)學的成就卻遠遠超出他所提出的問題。那么二十一世紀的問題又是什么呢？Hilbert1900年在巴黎國際數(shù)學家大會上提出這些問題時，才38歲，但已經(jīng)是當時舉世公認的德高望重的領袖數(shù)學家之一。大家知道，2002年國際數(shù)學家大會將在中國北京召開，這是國際數(shù)學家大會第一次在第三世界召開，那么在這新舊世紀交替之際，會不會有像Hilbert這樣崇高威望的人在會上提出他認為的二十一世紀的數(shù)學問題或是以其他的形式展望二十一世紀的數(shù)學？這個我當然不知道，但這些年來，已有不少數(shù)學家提出他自己認為的二十一世紀的數(shù)學問題，但往往是“仁者見仁，智者見智”。
 
二、百年前的講演的啟示
 
對Hilbert的23個問題不在這里介紹了，因為它超越了中學數(shù)學的范圍。但百年前，Hilbert演講中對數(shù)學的一些見解都是非常的深刻，百年過去了，重讀他的演講，依然得到很多啟示，我也不可能在這短短的一個多小時內(nèi)，對他的演講的各個部分來闡述自己的體會，我只想講一點對他說的其中的一段話自己的粗淺認識。
 
從十七世紀六十年代，微積分發(fā)明以來，數(shù)學得到了極大的發(fā)展，分支也愈來愈多。開始時一些大數(shù)學家，對各個分支都懂，并且做出了很重大的貢獻。但后來數(shù)學的分支愈分愈細，全面懂得各個分支的數(shù)學家愈來愈少，到十九世紀末，Hilbert做講演時，已經(jīng)是這種情況，于是在講演中，他說了這樣一段話：“然而，我們不禁要問，隨著數(shù)學知識的不斷擴展，單個的研究者想要了解這些知識的所有部門豈不是變得不可能了嗎？為了回答這個問題，我想指出：數(shù)學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切聯(lián)系著，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的、復雜的東西拋到一邊，數(shù)學科學發(fā)展的這種特點是根深蒂固的。因此，對于個別的數(shù)學工作者來說，只要掌握了這些有力的工具和簡單的方法，他就有可能在數(shù)學的各個分支中比其它科學更容易地找到前進的道路。”。一百年過去了，數(shù)學發(fā)展得更為廣闊與深人，分支愈來愈多，現(xiàn)在數(shù)學已有六十個二級學科、四百多個三級學科，更是不得了，所以Hilbert的上述這段話現(xiàn)在顯得更為重要。不僅如此，Hilbert的這段話實際上講的是數(shù)學發(fā)展的歷史過程，十分深刻地揭示了數(shù)學發(fā)展是一個新陳代謝，吐故納新的過程，是一些新的有力的工具，更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)，與一些陳舊的、復雜的東西被拋棄的過程，是“高級”的數(shù)學替代“低級”的數(shù)學的過程，而“數(shù)學科學發(fā)展的這種特點是根深蒂固的。”事實上，在數(shù)學的歷史中，一些新的有力的工具，更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)，往往標志著一個或多個數(shù)學分支的產(chǎn)生，是一些老的分支的衰落甚至結束。
 
回顧一下我們從小開始學習數(shù)學的過程，就是在重復這個數(shù)學發(fā)展的過程。一些數(shù)學雖然后來被更有力的工具和更簡單的方法所產(chǎn)生的新的數(shù)學所替代了，即“低級”的被“高級”的所替代了，但在人們一生學習數(shù)學的過程中，卻不能只學習“高級”的，而完全不學習“低級”的，完全省略掉學習“低級”的過程。這是因為人們隨著年齡的不斷增加，學習與他的年齡與智力相當?shù)臄?shù)學才是最佳選擇，學習數(shù)學是一個循序漸進的過程，沒有“低級”的數(shù)學打好基礎，很難理解與學習好“高級”的數(shù)學。
 
以下我們從Hilbert講演中的這一段精辟的論述的角度來認識我們的中小學的數(shù)學課程。我只是從數(shù)學發(fā)展的歷史的角度來討論問題，為大家從數(shù)學教育的角度來討論問題作參考。但我必須強調(diào)的是：從數(shù)學發(fā)展的歷史的角度來考慮問題與從數(shù)學教育的角度來考慮問題雖有聯(lián)系，但是是不一樣的。
 
三、算術與代數(shù)
 
人類有數(shù)的概念，與人類開始用火一樣古老，大約在三十萬年前就有了。但是有文字記載的數(shù)學到公元前3400年左右才出現(xiàn)。至于數(shù)字的四則運算則更晚，在我國，《九章算術》是古代數(shù)學最重要的著作，是從先秦到西漢中葉的眾多學者不斷修改、補充而成的一部數(shù)學著作，成書年代至遲在公元前一世紀。這是一本問題集形式的書，全書共246個題，分成九章，包含十分豐富的內(nèi)容。在這本書中有分數(shù)的四則運算法則、比例算法、盈不足術、解三元線性代數(shù)方程組、正負數(shù)、開方以及一些計算幾何圖形的面積與體積等。在西方，也或遲或早地出現(xiàn)了這些內(nèi)容，而這些內(nèi)容包括我們從小學一直到中學所學習“算術”課程的全部內(nèi)容。也就是說人類經(jīng)過了幾千年才逐步弄明白建立起來的“算術”的內(nèi)容，現(xiàn)在每個人在童年時代花幾年才逐步弄明白建立起來的“算術”的內(nèi)容，現(xiàn)在每個人在童年時代花幾年就全部學會了。對于“算術”來講，“真正的進展”是由于“更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)”，這個工具與方法是“數(shù)字符號化”，從而產(chǎn)生了另一門數(shù)學“代數(shù)”，即現(xiàn)在中學中的“代數(shù)”課程的內(nèi)容。在我國，這已是宋元時代（約十三世
 
紀五六十年代），當時的著作中，有“天元術”和“四元術”，也就是讓未知數(shù)記作為“天元”、“x”，后來將二個、三個及四個未知數(shù)記作為“天”、“地”、“人”、“物”等四元，也就是相當于現(xiàn)在用x，y，z，w來表達四個未知數(shù)，有了這些“元”，也就可以解一些代數(shù)方程與聯(lián)立線性代數(shù)方程組了。在西方徹底完成數(shù)字符號化是在十六世紀?，F(xiàn)在中學生學習的“代數(shù)”的內(nèi)容：包括一元二次方程的解，多元（一般為二元，三元至多四元）聯(lián)立方程的解等。當然在“數(shù)字符號化”之前，一元二次方程的解，多元聯(lián)立方程的解也是已經(jīng)出現(xiàn)，例如我國古代已經(jīng)有一些解一般數(shù)字系數(shù)的代數(shù)方程的“算法程序”，但這些都是用文字來表達的，直到“數(shù)字符號化”之后，才出現(xiàn)了現(xiàn)在中學代數(shù)的內(nèi)容的形式。
 
由“數(shù)字符號化”而產(chǎn)生的中學“代數(shù)”的內(nèi)容，的的確確是“數(shù)學中真正的進展”。“代數(shù)”的確是“更有力的工具和更簡單的方法”，“算術”顧名思義，可以理解為“計算的方法”，而“代數(shù)”可以理解為“以符號替代數(shù)字”，即“數(shù)字符號化”。人類從“算術”走向“代數(shù)”經(jīng)歷了千年。但在中學的課程中，卻只花短短的幾年，就可以全部學會這些內(nèi)容。
 
回憶我在童年時代，在小學學習“算術”課程時，感到很難，例如：求解“雞兔同籠”題，即：一個籠子中關著若干只雞，若干只兔，已知共有多少個頭，多少只腳，求有多少只雞，多少只兔？當時老師講的求解的方法，現(xiàn)在已完全記不得了，留下的印象是感到很難，而且納悶的是：雞與兔為何要關在一個籠子里？既數(shù)得清有多少個頭及多少只腳？為何數(shù)不清有多少只雞與多少只兔？等到初中時，學習了“代數(shù)”課程，才恍然大悟，這不過是二元一次聯(lián)立代數(shù)方程組，解方程組十分簡單方便，這不僅可以用來解“雞兔同籠”，即使將鴨與狗關在一個房間中，來數(shù)頭數(shù)與腳數(shù)，不妨叫做“鴨狗同室”問題，對這樣的問題一樣可以解。因之，“代數(shù)”顯然比“算術”來得“高級”，這的確是“更有力的工具和更簡單的方法”，而這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把“陳舊的、復雜的東西拋到一邊”，也就是從“代數(shù)”的角度來理解“算術”可以理解得更深刻，而可以把“算術”中一些復雜的，處理個別問題的方法拋到一邊去。
 
在這里，我要重復說一遍，盡管中學的“代數(shù)”比小學的“算術”來得“高級”，是“更有力的工具與更簡單的方法”，但并不意味著小學的“算術”就可以不必學了，因為：
 
（1）“算術”中的一些內(nèi)容不能完全被“代數(shù)”所替代，如四則運算等；
（2）即使能被替代的內(nèi)容，適當?shù)膶W習一些，有利于對“代數(shù)”內(nèi)容的認識與理解；
（3）從教育學的角度考慮，這里有循序漸進的問題，有學生不同年齡段的接受能力的問題等等。
 
作為中學“代數(shù)”中的一個重要內(nèi)容是解多元一次聯(lián)立方程組，在中學“代數(shù)”的教材中，一般著重講二元或三元一次聯(lián)立方程組，所用的方法往往是消元法。但是如果變元為四個或更多時，就得另想辦法來建立起多元一次聯(lián)立方程組的理論。經(jīng)過很多年的努力，矩陣的想法產(chǎn)生了，這不但給出了多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的一般理論，而且由此建立起一門新的學科“線性代數(shù)”。這是又一次“數(shù)學中真正的進展”，由于“更有力的工具和更簡單的方法”，即“矩陣”的發(fā)現(xiàn)，不僅對多元一次聯(lián)立代數(shù)方程組的理解更為清楚、更為深刻，由于有了統(tǒng)一處理方法，可以把個別地處理方程組的方法“拋到一邊”。
 
當然，“線性代數(shù)”是大學的課程，但它的產(chǎn)生的確再次印證了Hilbert所說的那段話。在中學“代數(shù)”中的另一個重要內(nèi)容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算術》中已有解一般一元二次方程的算法，后來有很多的發(fā)展，直到al-khowarizmi（約783―850）相當于給出了一般形式的一元二次方程。
 
1545年G.Cardano（1501-1576）公布了由N.Fontana（1499－1557）發(fā)現(xiàn)了解一元三次方程的解，而一元四次方程的解由L.Ferrari（1522―1565）所解決。于是當時大批的數(shù)學家致力于更高次方程的求根式解，即企圖只對方程的系數(shù)作加、減、乘、除和求正整數(shù)次方根等運算來表達方程的解。經(jīng)過了二個世紀的努力，大批數(shù)學家都失敗了，直到1770年J.?Lagrange（1736―1813）看到了五次及高次方程不可能做到這點，又過了半個世紀，1824年，N.?Abel（1802―1829）解決了這個問題，即對于一般的五次和五次以上的方程求根式解是不可能的。但什么樣的特殊的代數(shù)方程能用根式來求解，這是E?Galois（1811―1832）所解決，而更為重要的是：為了解決這個問題，他建立起“群”的概念，這就意味著現(xiàn)代代數(shù)理論的產(chǎn)生，這是又一次“數(shù)學中真正的進展”。它是由于“更有力的工具和更簡單的方法”，即“群”的發(fā)現(xiàn)而造成的，有了“群”以及后來發(fā)展起來的現(xiàn)代代數(shù)理論，可以更清楚、更深刻地理解以往高次代數(shù)方程求根式解的問題，而的確可以把以往那些“陳舊的、復雜的東西拋到一邊”。
 
雖然“群”等近代代數(shù)的內(nèi)容已超出中學教學的內(nèi)容，但代數(shù)方程求根式解問題的提出到徹底解決，這三百年的過程，十分確切地印證了前面不斷重復的Hilbert所說的那段話。
 
“群”的作用在歷史上及現(xiàn)代數(shù)學中都是不可估量的。例如：1872年Klein提出著名的ErlangerProgramm，即認為各種幾何學就是研究各種不同變換群下的不變性質(zhì)。這個數(shù)學思想，不僅對幾何學的發(fā)展，而且對整個數(shù)學的發(fā)展起了巨大的作用。