克萊因（M. Kline）于1972年出版的《古今數(shù)學(xué)思想》（Mathematical Thought from Ancient to Modern Times），曾被西方學(xué)者評為是“最好的數(shù)學(xué)史著作”。1970年代末，北京大學(xué)數(shù)學(xué)系的教師們把它譯成中文后，在我國也產(chǎn)生了相當(dāng)大的影響。最近我通讀了這套叢書，對數(shù)學(xué)思想有了進(jìn)一步的理解，感想頗多，現(xiàn)和大家分享：

 第一方面；數(shù)學(xué)的起源：

    正如許多人士已指出的，《古今數(shù)學(xué)思想》有一些明顯的局限，其中之一就是“歐洲中心”的偏見：認(rèn)為真正的數(shù)學(xué)始于古典希臘，然后經(jīng)過千年停滯，再從歐洲文藝復(fù)興開始發(fā)展?？巳R因評論“希臘人在數(shù)學(xué)史中的地位至高無上”，在此以前的巴比倫和埃及人只有簡單粗淺的數(shù)學(xué)；至于中國、日本和瑪雅人，則因為“他們的工作對數(shù)學(xué)思想的主流沒有什么影響”而在書中被忽略?？巳R因的觀點和做法已招致多方批評，在此不再重復(fù)。本文只想強調(diào)：應(yīng)該以實事求是的態(tài)度，平等地看待古代各大文明，只有這樣才能夠較好地理解數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展。事實上在各大文明中數(shù)學(xué)的起源和發(fā)展過程有很多相似的地方，并且它們的不同之處也可以被合理地解釋。
    史料和研究表明，人類在一萬年前的新石器時代已經(jīng)掌握計數(shù)和識別一些幾何圖形。但是直到大約四五千年前才開始產(chǎn)生真正的數(shù)學(xué)。這時人類進(jìn)入了農(nóng)業(yè)社會，發(fā)明了文字和建立了國家：農(nóng)業(yè)要求準(zhǔn)確地掌握時令、丈量土地、興修水利；國家則要進(jìn)行復(fù)雜的商品交換、財富分配和稅賦攤派；這些都需要數(shù)學(xué)；而文字使得數(shù)學(xué)知識得以交流和積累。
    最早形成的是以測量為主的幾何學(xué)，值得注意的是它與水患密切相關(guān)：埃及的幾何學(xué)起源于尼羅河泛濫后土地的重新測量，那些測量人被稱為拉繩者；在中國，據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，大禹治水（約四千年前）用矩作深、高、遠(yuǎn)的測量因而產(chǎn)生了勾股術(shù)。由于尼羅河很久以來每到一年中的6—10月就要泛濫，所以年復(fù)一年地在平面土地上用拉繩進(jìn)行測量，很自然會對幾何圖形中點、線、面的一般性質(zhì)和關(guān)系有較多的了解和研究；埃及的幾何學(xué)后來傳到希臘，后者結(jié)合他們發(fā)達(dá)的邏輯學(xué)，最終創(chuàng)立了公理化的歐幾里得幾何學(xué)。而大禹治水僅用了13年，消除洪患后的田地可以長期保持規(guī)則的形狀，如象形字“田”。于是計算基本圖形（如矩形、方體和圓）或它們的截切圖形（如直角三角形、鱉臑、陽馬和牟合方蓋）的幾何量（如邊長、面積或體積）成為中國幾何學(xué)的主要課題；勾股術(shù)則發(fā)展成為完整的直角三角形相似理論。另外，建造陵墓（如埃及金字塔）和祭壇（在印度和希臘）也是幾何學(xué)的重要來源。代數(shù)起源于用加減乘除和開方解決實際應(yīng)用問題，如幾何量的計算、天文測量、實物分配和純數(shù)量的確定等，其中關(guān)于平面直線圖形和空間直面圖形中各種關(guān)系量的計算占據(jù)著中心的地位。在已發(fā)現(xiàn)的、屬于四千年前巴比倫的楔形文字泥石板上，記載著大量的諸如矩形的邊長和面積之間關(guān)系的代數(shù)問題，其解法與現(xiàn)代解一元二次方程的方法一致。中國的趙爽（約公元200年）為《周髀算經(jīng)》作的注中，給出了直角三角形的三邊勾股弦之間的一系列的代數(shù)關(guān)系。古希臘歐幾里得的《幾何原本》（約公元前300年）第二卷實際上就是用幾何學(xué)的語言敘述代數(shù)問題，史稱“幾何代數(shù)”；而丟番圖的《算術(shù)》（約公元250年）被認(rèn)為是古希臘代數(shù)學(xué)的最高成就，其中把數(shù)自乘稱為“平方”、自乘兩次稱為“立方”的叫法流傳至今。代數(shù)對于幾何的依附是長期的，第一部《代數(shù)學(xué)》的作者阿拉伯學(xué)者花拉子米（約780—850）仍然在用幾何方法來證明他的代數(shù)結(jié)果。直到19世紀(jì)代數(shù)學(xué)才完全擺脫現(xiàn)實世界的限制，成長為一門完全獨立的學(xué)科。
    計算圓、球以及它們的各種截切圖形或生成圖形的有關(guān)幾何量（如圓周率、球表面積、球體積和圓錐體體積等），在古代數(shù)學(xué)研究中一直占據(jù)重要地位。各大文明中都有最杰出的數(shù)學(xué)家為之做出貢獻(xiàn)，如希臘的阿基米德，中國的劉徽、祖沖之和祖暅之，印度的婆什迦羅以及日本的關(guān)孝和等。這類計算或明或暗地使用了無限分割的概念，實是17世紀(jì)后迅速發(fā)展的以微積分理論為核心的分析學(xué)之濫觴。圓錐曲線理論是希臘人獨特的創(chuàng)造，它起源于對著名的三大幾何問題化圓為方、倍立方和三等分任意角的研究。阿波羅尼斯（Apollonius，約前262—前190）的《圓錐曲線論》與歐幾里得的《幾何原本》一樣，集中了希臘數(shù)學(xué)的精華。令人驚奇的是，兩千年后德國天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星運行的軌道就是以太陽為焦點的一個橢圓！這導(dǎo)致牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力。科學(xué)史上一個有趣的問題是，如果沒有希臘人的圓錐曲線理論，是否可能發(fā)現(xiàn)萬有引力？還會不會出現(xiàn)現(xiàn)代科學(xué)和現(xiàn)代社會？圓錐曲線理論后來被分析學(xué)完全容納。
    幾何、代數(shù)和分析這三大數(shù)學(xué)學(xué)科，不約而同地產(chǎn)生于各大文明中，雖然具體內(nèi)容有或多或少的差別。這三門學(xué)科剛開始時糾纏在一起，難分彼此；但后來逐漸分離，各自發(fā)展成為獨立的數(shù)學(xué)分支。五千年來數(shù)學(xué)經(jīng)歷了千變?nèi)f化，幾何、代數(shù)和分析的發(fā)展與相互作用則是貫穿始終的主旋律。
第二方面；幾何學(xué)的發(fā)展：
    幾何學(xué)發(fā)展的一個方向是形數(shù)結(jié)合：關(guān)于平面和立體簡單圖形的面積、體積的計算早已轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；而法國人笛卡兒和費馬引進(jìn)坐標(biāo)幾何后，把整個幾何都代數(shù)化了：直線和平面被表為線性方程，圓錐曲線表為二元二次方程，而計算圖形的面積、體積轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的積分。從此代數(shù)學(xué)和分析學(xué)成為研究幾何的主要工具。
    幾何圖形用代數(shù)方程、函數(shù)映射以及微分方程來表示，結(jié)果產(chǎn)生了大量的更一般的圖形，為研究這些圖形又發(fā)展了新的數(shù)學(xué)分支：利用導(dǎo)數(shù)研究圖形的切線、曲率等局部性質(zhì)導(dǎo)致了微分幾何學(xué)的產(chǎn)生；為研究代數(shù)方程的圖形而形成了代數(shù)幾何學(xué)，其中關(guān)于一種二元三次方程圖形的研究叫做橢圓曲線理論，它在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要性堪比歷史上的圓錐曲線。
    幾何學(xué)的另一個發(fā)展方向是探索和研究空間的性質(zhì)；其中最有深遠(yuǎn)意義的一步是發(fā)現(xiàn)非歐幾何。歐幾里得《幾何原本》中作為第五公設(shè)的平行公理長期受到懷疑，不斷有人試圖用其他幾條公理把它證明出來卻總是徒勞無功。直到19世紀(jì)，匈牙利人波爾約（J.Bolyai）、德國人高斯和俄國人羅巴切夫斯基（Н.И.Лобачевский）各自獨立地認(rèn)識到這樣的證明是不可能的，他們用不同的公理代替平行公理，從而得到非歐幾何。
    發(fā)現(xiàn)非歐幾何的意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出幾何學(xué)本身：它粉碎了哲學(xué)家康德關(guān)于歐氏幾何是空間的先驗綜合真理的論斷；幾千年來幾何學(xué)作為數(shù)學(xué)可靠性基礎(chǔ)的信念被動搖，數(shù)學(xué)家們開始為數(shù)學(xué)打造算術(shù)化的基礎(chǔ)，這些都反映在以希爾伯特、布勞威爾（L. E. J. Brouwer）等為代表的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)理邏輯的研究工作中。
    就幾何學(xué)本身來說，平行公理是關(guān)于空間整體性質(zhì)的一條命題，非歐幾何的發(fā)現(xiàn)表明并不能簡單地根據(jù)空間的局部性質(zhì)來判斷整個空間究竟如何。德國人黎曼為了探究局部滿足歐氏幾何的空間可能會有怎樣的結(jié)構(gòu)，創(chuàng)立了黎曼幾何。它后來成為愛因斯坦廣義相對論的基礎(chǔ)。然后產(chǎn)生了流形的概念：在流形上每個局部可以用笛卡兒坐標(biāo)刻畫，但其整體的結(jié)構(gòu)卻千差萬別。把歐氏空間中經(jīng)典的方法和成果推廣到可微流形，成為微分幾何學(xué)的重要課題：外爾（H. Weyl）、嘉當(dāng)（E. J. Cardan）等人引進(jìn)了聯(lián)絡(luò)的概念，這是歐氏空間中導(dǎo)數(shù)和微分的推廣；韋伊（A.Weil）、陳省身等人把經(jīng)典的高斯 博內(nèi)定理推廣到黎曼流形；為研究流形上的幾何結(jié)構(gòu)，陳省身等人發(fā)展了纖維叢理論，它后來被發(fā)現(xiàn)與物理學(xué)的規(guī)范場論不謀而合。通過考察圖形或流形的種種映射性質(zhì)并結(jié)合代數(shù)工具對它們分類，這種研究圖形和流形的新方法叫做拓?fù)鋵W(xué)，它由法國人龐加萊開創(chuàng)。維數(shù)、同胚、同倫、同調(diào)、連通、虧格等拓?fù)湔Z言，在20世紀(jì)的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中隨處可見。龐加萊猜想說，單連通的三維閉曲面必與三維球面同胚。這一猜想至今仍未證明。
第三方面；代數(shù)學(xué)的發(fā)展：
    花拉子米發(fā)明了algebra（代數(shù)學(xué)）這個詞，其意指“還原”（相當(dāng)于在等式兩邊去掉負(fù)項）和“對消”（相當(dāng)于在等式兩邊消去或合并同類項），這個詞反映了代數(shù)的運算特征。而中文譯名“代數(shù)”為英國來華傳教士偉烈亞力（A.Wylie）所創(chuàng)，按字面意思可以解釋為“（用符號）代替數(shù)字（未知量或常量）”，這反映了代數(shù)的符號化特征。
    代數(shù)學(xué)在成為一門獨立的學(xué)科之前，必須走完關(guān)鍵的兩步。
    第一步是符號化。其中最重要的是未知數(shù)的符號化，它的意義在于承認(rèn)未知數(shù)同已知數(shù)一樣是一種存在的實體，從而不必把它解出就可以對它進(jìn)行研究，以了解它的種種性質(zhì)。在古代中國和日本，曾經(jīng)發(fā)展了一元高次方程的開方術(shù)，即求方程根的數(shù)值解的方法，這些方法并不關(guān)心方程根可能有怎樣的性質(zhì)。這是開方術(shù)與以后的根式解研究的本質(zhì)區(qū)別。未知數(shù)符號化的嘗試先后出現(xiàn)在古代的不同國度中：例如印度人婆羅摩笈多（Brahmagupta）曾用不同的顏色表示不同的未知數(shù)；在中國宋元時期，李冶用“天元一”表示一個未知數(shù)，而朱世杰則用天、地、人、物四元來表示四個未知數(shù)?，F(xiàn)代人用字母表示未知數(shù)和已知數(shù)，并使用“＋”、“－”、“×”、“÷”、“＝”等記號，這些都是在15—17世紀(jì)期間逐步形成的。第二步是數(shù)系的擴展。這方面的進(jìn)步也非常緩慢。雖然早在兩千年前，中國的《九章算術(shù)》中已有完整的分?jǐn)?shù)計算，同時希臘人已經(jīng)掌握了無理數(shù)；但是直到18世紀(jì)人們對負(fù)數(shù)的性質(zhì)還不甚清楚，并且懷疑復(fù)數(shù)的存在；一直到該世紀(jì)末高斯證明了代數(shù)基本定理，人們才接受了研究代數(shù)所需要的全部的數(shù)。自此以后，代數(shù)學(xué)擺脫了對現(xiàn)實世界的依賴，開始了獨立的突飛猛進(jìn)的發(fā)展。
    代數(shù)學(xué)發(fā)展的一條主線是一元代數(shù)方程根式解的研究。雖然早在四千年前巴比倫人就會用配方法解二次方程，但是直到16世紀(jì)意大利的數(shù)學(xué)家才發(fā)現(xiàn)根式解三、四次方程的一般方法。19世紀(jì)，阿貝爾證明用根式解一般五次方程不可能。最后是伽羅瓦首創(chuàng)群論方法，確定了n次方程可用根式解的充要條件是其根的置換群為可解群。他在徹底了結(jié)這個延續(xù)了數(shù)千年的代數(shù)問題的同時，打開了抽象代數(shù)學(xué)的發(fā)展大門。抽象代數(shù)學(xué)研究群、環(huán)、域、模、理想、格等代數(shù)結(jié)構(gòu)，它在1930年代由諾特（E.Noether）與阿廷（E.Artin）等人正式確立，成為20世紀(jì)代數(shù)學(xué)的主流。1637年，費馬提出了“除平方之外，任何次冪都不可能分拆成兩個同次冪”的所謂費馬大定理。為證明這個定理，庫默爾（E.E.Kummer）把整數(shù)分解的方法推廣到了分圓域，并創(chuàng)立了理想論。他不僅因此發(fā)現(xiàn)了“理想”這個新代數(shù)結(jié)構(gòu)，而且開創(chuàng)了代數(shù)數(shù)論的研究。“代數(shù)”這個詞現(xiàn)在不僅代表了一種數(shù)學(xué)學(xué)科，還專指一種帶有加法和乘法運算的抽象代數(shù)結(jié)構(gòu)。“交換代數(shù)”則是研究代數(shù)幾何的基礎(chǔ)。
第四方面；分析學(xué)的發(fā)展：
     17世紀(jì)牛頓和萊布尼茨發(fā)明的微積分，被認(rèn)為“是繼歐幾里得幾何之后，全部數(shù)學(xué)中最大創(chuàng)造”；然而它實際上是古代數(shù)學(xué)中無限分割思想在笛卡兒坐標(biāo)體系下的自然發(fā)展。從此無窮的概念正式進(jìn)入數(shù)學(xué)并大顯身手：無窮小分析成為幾乎無處不在的數(shù)學(xué)語言，無窮級數(shù)也被廣泛使用。分析學(xué)則成為與幾何和代數(shù)同樣重要的數(shù)學(xué)分支。函數(shù)是分析學(xué)的中心概念，在牛頓時代人們只研究光滑的連續(xù)函數(shù)，但不久就發(fā)現(xiàn)了種種不連續(xù)、不可微的怪異函數(shù)，如何處理這些函數(shù)曾使分析學(xué)家們傷透腦筋。
     康托爾創(chuàng)立了集合論，為分析乃至整個數(shù)學(xué)奠定了邏輯基礎(chǔ)；因出現(xiàn)了悖論，人們曾對集合論是否可靠感到擔(dān)心。羅素、希爾伯特、布勞威爾等試圖為數(shù)學(xué)建立更牢固的基礎(chǔ)，但均未成功。如今數(shù)學(xué)家們肆無忌憚地使用集合論的成果，全然不顧它是否會導(dǎo)致錯誤的結(jié)論。黎曼曾建立了有限區(qū)間上的積分理論，但它不適用于一大類有意義的函數(shù)。于是法國人勒貝格發(fā)明了測度論，創(chuàng)立了關(guān)于可測函數(shù)的勒貝格積分，由此誕生了實變函數(shù)論。所謂復(fù)變函數(shù)論實際指單復(fù)變量的函數(shù)論，它曾經(jīng)是19世紀(jì)分析學(xué)的中心內(nèi)容：高斯利用它證明了代數(shù)基本定理；阿貝爾在這里創(chuàng)造了橢圓函數(shù)和橢圓積分；黎曼通過研究多值函數(shù)發(fā)現(xiàn)了黎曼面，這個結(jié)構(gòu)對于幾何學(xué)和代數(shù)學(xué)也都有重要意義。在20世紀(jì)，共形映射與值分布理論成為重要的研究課題。多復(fù)變函數(shù)論則被稱為復(fù)分析，它形成于20世紀(jì)初，現(xiàn)在發(fā)展十分迅速。泛函分析也可稱為“函數(shù)的”函數(shù)理論，因為它研究的是作用在函數(shù)上的變換或算子。它起源于對變分法和積分方程等的研究。弗雷歇于1906年創(chuàng)立了抽象空間（函數(shù)是其中的“點”）理論，從而奠定了泛函分析的基礎(chǔ)。重要的抽象空間包括巴拿赫空間和希爾伯特空間。泛函分析不僅在數(shù)學(xué)而且在物理學(xué)等學(xué)科中有廣泛應(yīng)用，是現(xiàn)代分析學(xué)的基本內(nèi)容。
     《古今數(shù)學(xué)思想》中很少涉及20世紀(jì)數(shù)學(xué)，因為克萊因認(rèn)為這段時期的許多數(shù)學(xué)成果尚有待于經(jīng)受時間的檢驗，而且他對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的過度抽象化也持保留態(tài)度。事實上，無論就純粹數(shù)學(xué)還是就應(yīng)用數(shù)學(xué)來說，20世紀(jì)的發(fā)展都遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過以往的世紀(jì)；五千年的數(shù)學(xué)歷史短缺了最精彩最豐富的最后100年，無論如何是一大遺憾。所幸最近出版的 《20世紀(jì)數(shù)學(xué)經(jīng)緯》，全面介紹了20世紀(jì)的數(shù)學(xué)人物、事件和成就，從而可以填補這段空白。 縱觀五千年數(shù)學(xué)，波瀾壯闊，精彩繽紛，令人驚嘆。浮光掠影地一瞥，當(dāng)然只能略及皮毛，粗知大概。不過我們還是可以看出，數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類文明的進(jìn)步狀況密切相關(guān)。在原始社會，人類只會記數(shù)和識別簡單的幾何圖形。這種本領(lǐng)部分出自動物本能的一種發(fā)展，部分出自原始部落內(nèi)部成員間口頭學(xué)習(xí)和交流。進(jìn)入農(nóng)業(yè)社會，人類建立國家，開始了大規(guī)模的社會合作、社會分工和社會生產(chǎn)。由于社會需要，很自然地產(chǎn)生了以幾何學(xué)為主要內(nèi)容的古典數(shù)學(xué)。文字著作成為傳播數(shù)學(xué)知識的重要手段，交流的范圍也擴大到了一個國家或?qū)儆谕晃拿鞯南噜弴摇？梢詳喽ú煌拿髦械臄?shù)學(xué)基本上是獨立發(fā)展的；但它們的歷程和內(nèi)容有許多相似之處，這表明這段時期的社會結(jié)構(gòu)和社會生產(chǎn)很大程度決定了當(dāng)時的數(shù)學(xué)。然而不同文明中的數(shù)學(xué)也有明顯的不同，這可以用自然環(huán)境或文化的差異來解釋。15世紀(jì)開始的歐洲文藝復(fù)興為人類進(jìn)入工業(yè)化的現(xiàn)代社會做準(zhǔn)備，數(shù)學(xué)也開始醞釀思想變革。17世紀(jì)以后人類的科學(xué)、技術(shù)和生產(chǎn)活動越來越廣泛深入，數(shù)學(xué)也隨之飛速發(fā)展。數(shù)學(xué)交流使用雜志論文這種更迅速方便的手段；隨著數(shù)學(xué)交流跨越了國界，數(shù)學(xué)研究也成為國際化的活動。由于人類的這場社會革命首先從西方開始，所以與它同時產(chǎn)生的現(xiàn)代數(shù)學(xué)也很自然地帶上明顯的西方古典數(shù)學(xué)思想的烙印。計算機與網(wǎng)絡(luò)把人類帶進(jìn)了21世紀(jì)，我們正在經(jīng)歷信息時代的革命。通信與交流從來沒有這樣的便利和迅速，數(shù)學(xué)家交流思想和研究成果從來沒有這樣容易；科學(xué)技術(shù)與生產(chǎn)的發(fā)展達(dá)到了前所未有的頂峰。面對如此形勢，我們有理由相信，很可能在這一世紀(jì)里會發(fā)生另一場數(shù)學(xué)思想的革命；與以往不同的是，這次革命將會有全世界的數(shù)學(xué)家共同參與。
      讓我們拭目以待，數(shù)學(xué)這棵古老的常青樹將在21世紀(jì)中長出怎樣的新干和新芽。
 

                                    新鄉(xiāng)一中數(shù)學(xué)組：陳明宇

                                        2011。9。2