數(shù)學是什么，遠遠比數(shù)學怎么教更加重要。只有準確地把握數(shù)學學科的本質(zhì)特點，才能有效地實施其教學。

　　我 們知道數(shù)學有三大特性，即抽象性、嚴密性和應用的廣泛性，但在學科培訓、教學研究中一方面我們必須從數(shù)學三大特性的高度理性地認識數(shù)學，另一方面我們需要 對數(shù)學的特點有著更具體、更鮮活、更有意蘊的理解。于是我們改編、新創(chuàng)了一組關于數(shù)學的精粹而有意蘊的故事，期望借助數(shù)學故事引導學生真切地感悟數(shù)學的真 諦。

　　故事一：燒水的問題

　　

　　有好事者提出這樣一個問題：“假如你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，你想燒些水應當怎樣去做？”

　　被提問者答道：“在壺中放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”

　　提問者肯定了這一回答，接著追問：“如其他條件不變，只是水壺中已有了足夠的水，那你又應當怎樣去做？ ”

　　這時被提問者很有信心地答道：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”

　　但是提問者說：“物理學家通常都這么做，而數(shù)學家們則會倒去壺中的水，并聲稱已把后一問題轉化成先前的問題。”

　　感悟：

　　數(shù)學家“倒去壺中的水”似乎是多此一舉，故事的編創(chuàng)者不是要我們?nèi)?ldquo;倒去壺中的水”，而是引導我們感悟數(shù)學家獨特的思維方式──轉化。

　　學 習數(shù)學不是問題解決方案的累積記憶，而是要學會把未知的問題轉化成已知的問題，把復雜的問題轉化成簡單的問題，把抽象的問題轉化成具體的問題。數(shù)學的轉化 思想簡化了我們的思維狀態(tài)，提升了我們的思維品質(zhì)。轉化不是就事論事、一事一策，而是發(fā)掘出問題中最本質(zhì)的內(nèi)核和原型，再把新問題轉化成與已經(jīng)能夠解決的 問題。

　　轉化思想是數(shù)學的基本思想，它應貫穿在我們數(shù)學教學的始終。

　　故事二：兩只羊的描述

　　草地上有兩只羊，在藝術家、生物學家、物理學家、數(shù)學家看來卻有不同的感受與理解，下面是他們的的描述。

　　藝術家：“藍天、碧水、綠草、白羊，美哉自然。”

　　生物學家：“雄雌一對，生生不息。”

　　物理學家：“大羊靜臥，小羊漫步。”

　　數(shù)學家：“1+1=2。”

　　感悟：

　　從故事中不同職業(yè)的人對兩只羊的描述，我們感受到藝術家對自然美的關注，生物學家對生命的關注，物理學家對運動與靜止的關注，而數(shù)學家從色彩、性別、狀態(tài)中抽象出數(shù)量關系：1+1=2，這是數(shù)學高度抽象性的體現(xiàn)。

　　

　　在數(shù)學教學中，學生的數(shù)學學習要經(jīng)歷具體—表象—抽象的過程，教學時要在直觀物體和抽象概念之間構建橋梁，從而引導學生把握事物最主要、最本質(zhì)的數(shù)學屬性。

　　抽象有一個學生經(jīng)歷的過程，而不是直接告訴學生抽象的結果。數(shù)學抽象本身又是一個不斷提高的過程，這一過程永無止境。

　　故事三：籬笆圍面積

　　一位農(nóng)夫請了工程師、物理學家和數(shù)學家，讓他們用最少的籬笆圍出最大的面積。

　　工程師用籬笆圍出一個圓，宣稱這是最優(yōu)設計。

　　物理學家說：“將籬笆分解拉開，形成一條足夠長的直線，當圍起半個地球時，面積最大了。”

　　數(shù)學家好好嘲笑了他們一番。他用很少的籬笆把自己圍起來，然后說：“我現(xiàn)在是在籬笆的外面。”

　　感悟：

　　工程師的設計是實用的、唯美的，不愧是“最優(yōu)設計”。物理學家的思維具有奇特的想象力，籬笆可無限地分解拉開，似乎圍成的面積已經(jīng)是 “最大了”。數(shù)學家是用很少的籬笆把自己圍起來，然后說：“我現(xiàn)在是在籬笆的外面。”工程師和物理學家力圖圍出最大的面積，而數(shù)學家是先圍出最小的面積。人們說，退一步海闊天空，而數(shù)學家何止是退一步，是反其道而行之。“反其道”是一種逆向思維的品質(zhì)。

　　逆向思維是創(chuàng)造思維的組成部分。在我們面對“山重水復”之時，逆向思考常常使我們找到“柳暗花明”之路。數(shù)學教學應使逆向思維成為學生應有的自覺意識和實踐行為。

　　故事四：蘇格蘭的羊

　　三位科學家由倫敦去蘇格蘭參加會議，越過邊境不久，發(fā)現(xiàn)了一只黑羊。

　　“啊，” 天文學家說，“原來蘇格蘭的羊是黑色的。”

　　“得了吧，僅憑一次觀察你可不能這么說。” 物理學家道，“你只能說那只黑色的羊是在蘇格蘭邊境發(fā)現(xiàn)的。”

　　“也不對，”數(shù)學家道，“由這次觀察你只能說：在這一時刻，這只羊，從我們觀察的角度看過去，有一側表面上是黑色的。”

　　

　　感悟：

　　著名的思想家培根說過：“數(shù)學使人精確。”故事中的數(shù)學家對蘇格蘭羊的描述充分體現(xiàn)出數(shù)學的嚴密性。

　　數(shù)學是思維的體操，語言是思維的外殼，數(shù)學的理性思維是建立在數(shù)學概念、數(shù)學定理等數(shù)學語言的嚴密界定之上的。數(shù)學語言的簡潔、精煉、嚴密的特性需要我們在平時的數(shù)學教育教學中不斷地錘煉教學語言，并進而通過數(shù)學語言的訓練提升學生的思維品質(zhì)。

　　故事五：三角形的內(nèi)角和

　　美籍華人陳省身教授是當代舉世聞名的數(shù)學家，他在北京大學的一次講學中語驚四座：

　　“人們常說，三角形內(nèi)角和等于180度。但是，這是不對的!”

　　大家愕然。怎么回事?三角形內(nèi)角和是180度，這不是數(shù)學常識嗎?

　　接著，這位老教授對大家的疑問作了精辟的解答：“說三角形內(nèi)角和為180度不對，不是說這個事實不對，而是說這種看問題的方法不對，應當說三角形外角和是360度。”

　　“把眼光盯住內(nèi)角，我們只能看到：

　　三角形內(nèi)角和是180度；

　　四邊形內(nèi)角和是360度；

　　五邊形內(nèi)角和是540度；

　　……

　　n邊形內(nèi)角和是(n－2)×180度。

　　這就找到了一個計算內(nèi)角和的公式。公式里出現(xiàn)了邊數(shù)n。如果看外角呢?

　　三角形的外角和是360度；

　　四邊形的外角和是360度；

　　五邊形的外角和是360度；

　　……

　　任意n邊形外角和都是360度。

　　這就把多種情形用一個十分簡單的結論概括起來。用一個與n無關的常數(shù)代替了與n有關的公式，找到了更一般的規(guī)律。”

　　感悟：

　　讀罷陳省身的故事，我們想起數(shù)學家波萊爾的一段話：“數(shù)學家的目的往往是尋求一般的解，他喜歡用幾個一般的公式來解決許多特殊的問題。”

　　數(shù)學教學不是羅列更多的現(xiàn)象，也不是追求更妙的技巧，而是要從更普遍的、更一般的角度尋求規(guī)律和答案。

　　故事六：樹上有幾只鳥

　　某日，老師想看看學生的智商如何，于是有了下面的對話。

　　老師問：“樹上有10只鳥，開槍打死1只，還剩幾只?”

　　學生反問：“您確定那只鳥真的被打死了嗎?”

　　“確定。”

　　“是無聲手槍嗎?”

　　“不是。”

　　“槍聲有多大?”

　　“80～100分貝。”

　　“那就是說會震得耳朵疼?”

　　“是。”

　　老師已經(jīng)不耐煩了，“拜托，你告訴我還剩幾只就行，OK?”

　　“OK，樹上的鳥有沒有聾子？”

　　“沒有。”

　　“有沒有關在籠子里的?”

　　“沒有。”

　　“邊上還有沒有其他的樹？樹上還有沒有其他的鳥?”

　　“沒有。”

　　“算不算懷在肚子里的小鳥？”

　　“不算。”

　　“打鳥的人眼有沒有花？保證是10只？”

　　“沒有花，就10只。”

　　老師已經(jīng)滿頭是汗，且下課鈴已響了，但學生還是追問。

　　“有沒有傻到不怕死的？”

　　“都怕死。”

　　“會不會一槍打死2只？”

　　“不會。”

　　“所有的鳥都可以自由活動嗎？”

　　“完全可以。”

　　“如果您的回答沒有騙人，” 學生滿懷信心地說，“打死的鳥要是掛在樹上沒掉下來，那么就剩下1只；如果掉下來，就1只不剩。”

　　老師當即暈倒……

　　

　　感悟：

　　讀完上述故事，我們似乎也有暈倒的感覺。樹上有幾只鳥，本是一道趣味數(shù)學題。數(shù)學需要趣味，那怕這種趣味帶點幼稚，答案不夠周密。“趣味數(shù)學”是激發(fā)學生數(shù)學想象、數(shù)學情趣及思維火化的有效素材。趣味數(shù)學題一旦“坐實”，就失去了生機與活力。故事中的學生似乎有點“走火入魔”，這會不會與我們刻板的教學有關呢？

　　如果開放題被肢解成一道道封閉題，就違背了開放的本意。數(shù)學需要開放，開放的目的是發(fā)散學生的思維，開放的本質(zhì)是思維。數(shù)學教育教學中需要開放，開放包括教學組織及整個設計，不可狹隘地理解為一道數(shù)學題，而是一個貫穿教學過程的主題，開放題只是載體與素材，開放應上升為一種思想。

　　諸如“樹上有幾只鳥”之類的話題，您也許別有一番高見，智者見智、趣者見趣，最后還是讓我們讀讀下面兩段文字：

　　“甚至在數(shù)學上也是需要幻想的，甚至沒有它就不可能發(fā)明微積分。”（列寧語）

　　“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)。”（牛頓語）